RANGKUMAN MATERI BARISAN DAN DERET GEOMETRI TERLENGKAP | MATEMATIKA

RANGKUMAN MATERI BARISAN DAN DERET GEOMETRI TERLENGKAP | MATEMATIKA

A.BARISAN GEOMETRI
Barisan geometri merupakan barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan satu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu sering disebut sebagai pembanding atau rasio yang dilambangkan dengan r.

Barisan U1 , U2 , U3 , U4 , ….. , Un disebut sebagai barisan geometri jika memenuhi Rasio







Contoh barisan geometri :
7, 21, 63, 189, ....
3, 6, 12 , 24, 48 ,. . . .

Rumus Suku ke-n 
Jika suku pertama ( U1 ) dari suatu barisan geometri disimbolkan dengan a , maka rumus suku ke-n barisan geometri dapat ditentukan sebagai berikut:













Dari pernyataan diatas, dapat ditarik kesimpulan bahwa rumus suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah








Dimana r adalah rasio atau pembanding yang dapat dicari dengan cara berikut:






Contoh Soal :

  1. Tentukan suku ke tujuh dari barisan geometri 3, 6, 12, .....!

  2. Tentukan Rumus Suku ke-n dari barisan 48 , 24 , 12 , ……!

  3. Dari barisan geometri diketahui bahwa U3 = 4 dan U9 = 256, maka tentukan U12!

  4. Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan tersebut sama dengan 35, sedangkan hasil kali ketiga bilangan itu sama dengan 1.000. Maka tentukan barisan geometri tersebut!
Jawab :
  1. Dari Barisan 3, 6, 12, ... didapat a = 3 dan r = 6/3 = 2 sehingga,

  2. Un = a.rn-1
    U7 = 3.2
    U7 = 3.26
    U7 = 3.64
    U7 = 192

  1. Dari barisan 48, 24, 12, .... didapat a = 48 dan r = 24/48 = 1/2 sehingga,

  2. Un = a.rn-1
    Un = 48.(1/2)n-1
    Un = 48.(1/2)n-1
    Un = 48.(2-1)1-n
    Un = 3.16.(2)1-n
    U7 = 3.24(2)1-n
    U7 = 3.25-n

  3. Pertama, kita jabarkan terlebih dahulu U3 dan U9 kemudian kita cari nilai rasionya

    U3 = 4 → a.r2 = 4
    U9 = 256 → a.r8 = 256

  4. Kemudian substitusikan untuk mencari U1 atau a!

    → a.r2 = 4
    → a.22 = 4
    → a = 1
    Next, cari nilai U12 dengan menggunakan rumus umum barisan geometri!
    U12 = a.rn-1
    U12 = 1.211
    U12 = 1.2048
    U12 = 2048
  5. jawaban soal no 4
















B. DERET GEOMETRI

Jumlah dari n suku pertama suatu barisan geometri disebut sebagai deret geometri. Jika suku ke-n dari barisan geometri dirumuskan: an = a1rn – 1, maka deret geometri dapat dituliskan sebagai,




Jika kita mengalikan deret tersebut dengan –r kemudian menjumlahkannya dengan deret aslinya, kita mendapatkan








Sehingga kita memperoleh Sn – rSn = a1 – a1rn. Dengan menyelesaikan persamaan tersebut untuk Sn, kita mendapatkan











Rumus suku ke n

sukuken

Contoh Soal:

  1. Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret 32 + 16 + 8 + ….!
  2. Tentukan nilai n yang memenuhi2 + 22 + 23 + ….. + 2n = 510!
Jawab:

1. Dari deret 32 + 16 + 8 + .... didapat a = 32 dan r = 1/2, sehingga

jawab%2B11
















2. Dari deret 2 + 22 + 23 + ….. + 2n = 510 didapat a = 2 dan r = 2, sehingga

Jawab%2B22














Soal No. 3
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.
3 + 6 + 12 + ....
Tentukan suku ke-5 dari deret tersebut!
Pembahasan
Rumus suku ke-n deret geometri
Un = arn −1 


dimana
a = suku pertama
r = rasio

Dari soal
a = 3
r = 6/3 = 2

sehingga
Un = arn−1
U5 = 3 (2)5 −1 = 3 (2)= 3(16) = 48



Soal No. 4
Diketahui suku pertama suatu deret geometri adalah 4 dengan suku ke-5 adalah 324. Tentukan rasio dari deret tersebut!

Pembahasan
Data dari soal di atas
U5 = 324
a = 4

Dari Un = arn −1



Dengan demikian rasionya adalah 3 atau − 3

Soal No. 5
Deret geometri 12 + 6 + 3 + ....
Tentukan U3 + U5

Pembahasan
U3 = 3
a = 12
r = 6/12 = 1/2

Un = arn −1 
U5 = 12(1/2)5 −1 = 12(1/2)4 = 12(1/16) = 12/16 = 3/4

Sehingga 
U3 + U5 = 3 + 3/4 = 3 3/4

Soal No. 6
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.
3 + 6 + 12 + ....
Tentukan jumlah 7 suku pertama dari deret tersebut! 

Pembahasan
Data:
a = 3
r = 6/3 = 2
S7 =....

Rumus mencari jumlah n suku pertama deret geometri untuk rasio lebih besar dari satu r > 1


Sehingga:










Soal No. 7
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.
24 + 12 + 6 +...
Tentukan jumlah 7 suku pertama dari deret tersebut! 

Pembahasan
Data:
a = 24
r = 12/24 = 1/2
S7 =....

Rumus mencari jumlah n suku pertama deret geometri untuk rasio lebih kecil dari satu r < 1

 Sehingga:


 


















soal no 8
Seutas tali dibagi menjadi 5 bagian yang

panjangnya membentuk barisan geometri.
Jika tali yang paling pendek adalah 10 cm dan tali yang paling panjang adalah 160 cm, tentukan panjang tali semula.
Penyelesaian:
Diketahui potongan-potongan tali membentuk barisan geometri, dengan:
panjang tali terpendek = U1 = a = 10
panjang tali terpanjang = U5 = ar4 = 160
banyak bagian tali = n = 5
Ini berarti panjang tali semula adalah jumlah panjang kelima bagian tali (S5).
Mula-mula tentukan nilai r dengan mengganti a = 10, n = 5 dan U5 = 160 ke rumus Un.
SOAL DAN PEMBAHASAN PENERAPAN BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Selanjutnya tentukan panjang panjang tali semula (S5) yaitu:
SOAL DAN PEMBAHASAN PENERAPAN BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Jadi, panjang tali semula adalah 310 cm.

soal no 9


Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 4 meter. Kemudian bola tersebut memantul kembali setinggi 3 meter dan seterusnya. Setiap kali menyentuh lantai, bola tersebut akan memantul setinggi 3434 kali ketinggian sebelumnya. Tentukan panjang lintasan yang terbentuk sampai bola menyentuh lantai untuk yang ke-3 kalinya.
Penyelesaian:
Perhatikan ilustrasi berikut.
SOAL DAN PEMBAHASAN PENERAPAN BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Berdasarkan ilustrasi, tampak bahwa ketika bola dijatuhkan dan menyentuh lantai untuk yang ke 3 kali sesungguhnya bola tersebut mengalami 3 kali gerakan turun (panah merah) dan 2 kali gerakan naik (panah biru).
• Barisan yang terbentuk saat bola turun (ditunjukkan oleh panah warna merah) adalah 4,(3434) 4, (34)2(34)2 (4),... = 4, 3, 9494, ....
Barisan ini adalah barisan geometri turun dengan a = 4 dan r =3434
Oleh karena terdapat 3 kali gerakan turun (n = 3), maka panjang lintasan yang terbentuk saat bola turun (S3) adalah
SOAL DAN PEMBAHASAN PENERAPAN BARISAN DAN DERET GEOMETRI
  • Barisan yang terbentuk saat bola naik (ditunjukkan oleh panah warna biru) adalah (3434) 4 , (34)2(34)2 (4), ... = 3, 9494, .... 

Barisan ini adalah barisan geometri turun dengan a = 3 dan r =3434
Oleh karena terdapat 2 kali gerakan naik (n = 2), maka panjang lintasan yang terbentuk saat bola naik (S2) adalah
SOAL DAN PEMBAHASAN PENERAPAN BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Jadi, panjang lintasan yang terbentuk sampai bola menyentuh lantai untuk yang ke 3 kalinya adalah 14, 5 meter.

LATIHAN
  1. Tentukan suku ke 10 dari barisan 1/8, 1/4, 1/2, ….

  2. Sebuah amoeba dapat membelah diri menjadi 2 setiap 6 menit. Pertanyaannya, berapakah jumlah amoeba setelah satu jam jika pada awalnya terdapat 2 amoeba?

  3. Tentukan tiga suku pertama pada barisan-barisan berikut ini, jika suku umum ke-n di rumuskan sebagai berikut: a. Un = 4n+1 b. Un = 2n2 – 1 c. Un = 1 – 2n

  4. Tentukan rumus umum ke – n dari barisan-barisan berikut ini:
  5. a. 2, 4, 8, 16, 32, …
    b. 4, 6, 8, 10, …
  6. Diketahui barisan geometri, U2=14 dan U4=56, tentukan a dan rasionya?

0 Response to "RANGKUMAN MATERI BARISAN DAN DERET GEOMETRI TERLENGKAP | MATEMATIKA"

Post a Comment

Komentar yang tidak sesuai dengan syarat & ketentuan kami, akan kami hapus